エディントンのイプシロン（レヴィ=チヴィタ記号）

添字が $(1, 2, 3)$ の偶置換なら $1$ 、奇置換なら $-1$ 、それ以外は0とするもの。 Wikipediaではテンソルであると言い切っているが、レヴィ・チヴィタの記号 [物理のかぎしっぽ]では、疑テンソルであると説明している（ただ、あまり実用上は気にしなくて良さそう）。以下のように定義されている。

$$ \begin{align} \varepsilon_{i j k}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \left( (i, j, k)\in \left\{(1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)\right\} \right) \\ -1 & \left( (i, j, k)\in \left\{(1,3,2), (3,2,1), (2,1,3)\right\} \right) \\ 0 & \left( \text {otherwise} \right) \end{array}\right. \end{align} $$

すなわち

$$ \begin {align} \varepsilon_{i j k}=\varepsilon_{j k i}=\varepsilon_{k i j}=-\varepsilon_{i k j}=-\varepsilon_{j i k}=-\varepsilon_{k j i} \label{prop_epsilon} \end {align} $$

3つの直交した単位ベクトル（ $\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{k}$ ）を使えば、スカラー三重積でも表現できる。

$$ \begin{align} \left| \begin{array}{ccc} \boldsymbol{e}_{i} & \boldsymbol{e}_{j} & \boldsymbol{e}_{k} \end{array} \right| :=\boldsymbol{e}_{i} \cdot\left(\boldsymbol{e}_{j} \times \boldsymbol{e}_{k}\right)=\varepsilon_{i j k} \label{triple} \end{align} $$

スカラー三重積の性質からも、\eqref{prop_epsilon}が成り立っていることがわかる。さらに、\eqref{triple}よりまた、クロネッカーのデルタを用いれば以下のような性質があることが示せる。

$$ \begin{align} \varepsilon_{i j k} \varepsilon_{l m n} &=\operatorname{det} \left[ \begin{array}{ccc} {\delta_{i l}} & {\delta_{i m}} & {\delta_{i n}} \\ {\delta_{j l}} & {\delta_{j m}} & {\delta_{j n}} \\ {\delta_{k l}} & {\delta_{k m}} & {\delta_{k n}} \end{array} \right] \\ &=\delta_{i l} \left(\delta_{j m} \delta_{k n}-\delta_{j n} \delta_{k m} \right)+\delta_{i m} \left(\delta_{j n} \delta_{k l}-\delta_{j l} \delta_{k n}\right)+\delta_{i n}\left(\delta_{j l} \delta_{k m}-\delta_{j m} \delta_{k l} \right) \label{mul_epsilon} \end{align} $$

証明は具体的に $i, j, k, l, m, n$ に数字を入れて計算してみれば良い。例えば $i=l=2$ の時、考えられる $(j,k,m,n)$ のパターンは

$$ \begin{align} \left(j, k, m, n \right) \in \left\{\left(1, 3, 1, 3\right), \left(1, 3, 3, 1\right), \left(3,1, 1, 3\right), \left(3,1, 3,1\right)\right\} \end{align} $$

となる。なお、エディントンのイプシロンの定義より値が0となる組み合わせは無視した。この時、\eqref{mul_epsilon}は $0$ となる項を省略すると

$$ \begin{align} \delta_{il} \left(\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km} \right) &= \delta_{22} \left(\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km} \right) \end{align} $$

となるので、\eqref{mul_epsilon}が成り立つことを簡単に確認できる。他の条件でも同様である。また、\eqref{mul_epsilon}より以下のような性質も導ける*1。

$$ \begin{align} \sum_{k} \varepsilon_{i j k} \varepsilon_{l m k} &=\operatorname{det} \left[ \begin{array}{ll} {\delta_{i l}} & {\delta_{i m}} \\ {\delta_{j l}} & {\delta_{j m}}\end{array}\right] \\ &=\delta_{i l} \delta_{j m}-\delta_{i m} \delta_{j l} \\ \sum_{j, k} \varepsilon_{i j k} \varepsilon_{l j k} &=2 \delta_{i l} \\ \sum_{i, j, k} \varepsilon_{i j k} \varepsilon_{i j k}&=6 \end{align} $$

ちょっと実践

ベクトルの外積がシンプルになる。

$$ \begin{align} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \sum_{i, j} \varepsilon_{i j k} a_j b_k \end{align} $$

3次元の行列式（スカラー三重積）もコンパクトに表現できる。

$$ \begin{align} \operatorname{det} \left[ \begin{array}{lll} {a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right] &=\operatorname{det} \left[ \begin{array}{ccc} {\sum_{i} \delta_{1 i} a_{i 1}} & {\sum_{j} \delta_{1 j} a_{j 2}} & {\sum_{k} \delta_{1 k} a_{k 3}} \\ {\sum_{i} \delta_{2 i} a_{i 1}} & {\sum_{j} \delta_{2 j} a_{j 2}} & {\sum_{k} \delta_{2 k} a_{k 3}} \\ {\sum_{i} \delta_{3 i} a_{i 1}} & {\sum_{j} \delta_{3 j} a_{j 2}} & {\sum_{k} \delta_{3 k} a_{k 3}}\end{array}\right] \\ &= \sum_{i, j, k} \operatorname{det} \left[ \begin{array}{lll} {\delta_{1 i}} & {\delta_{1 j}} & {\delta_{1 k}} \\ {\delta_{2 i}} & {\delta_{2 j}} & {\delta_{2 k}} \\ {\delta_{3 i}} & {\delta_{3 j}} & {\delta_{3 k}}\end{array}\right] a_{i 1} a_{j 2} a_{k 3} \\ &=\sum_{i, j, k} \varepsilon_{i j k} a_{i 1} a_{j 2} a_{k 3} =\sum_{i, j, k} \varepsilon_{i j k} a_{1 i} a_{2 j} a_{3 k} \end{align} $$

最後の式変形は $\operatorname{det} A = \operatorname{det} A^{\mathrm{T}}$ であることを利用した。

その他

実は添字の書き方には下付きと上付きで使い分けるルールがある。
本記事で扱う範囲を遥かに超えるので説明は省略した（というか説明できない）。
代わりに参考になるページ、資料へのリンクを貼っておく。

共変ベクトルと反変ベクトル [物理のかぎしっぽ]
添字について解説してくれている
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic2/data/detprf1.pdf
導入は天下りだが、的p.9で添字の扱いに触れている。また、定理7で $$ \begin{align} |A B|=\left\{\begin{array}{ll} {0} & (n<m) \\ {|A||B|} & (n=m) \\ {\sum_{i_{1}<\cdots<i_{m}} \left|A_{i_{1}, \ldots, i_{m}}| \left|B^{i_{1}, \ldots, i_{m}}| \right.\right.} & (n>m) \end{array}\right. \end{align} $$ の証明をしている。 $\varepsilon_{i j k} \varepsilon_{l m n}$ の計算の参考になる。
ベクトル解析公式の証明 – 準備篇 | 高校物理の備忘録
証明がたくさん書いてある。丁寧に途中式まである。